COMPITO DI MATEMATICA

CLASSE 4D – 10 ottobre ’02

DUBBI? SCRIVIMI e chiedi

REAZIONI? SCRIVIMI e sfogati!

1)      Determina la trasformazione in modo tale che la circonferenza di equazione  venga trasformata nella curva di equazione  con le seguenti consegne: il punto  deve avere per immagine il punto  e la trasformazione deve essere “diretta” cioè fissato un verso di percorrenza della curva questo deve rimanere inalterato nella trasformazione (esempio se vado da (1,0) a (0,1) seguendo il percorso più breve in senso antiorario lo stesso senso dovrà essere per andare dall’immagine di (1,0) all’immagine di (0,1) seguendo il percorso più breve)

il fatto che il punto (0,1) vada in (-2,0) fa pensare a portare prima (0,1) in (-1,0) e poi dilatare la circonferenza. Per fare questo possiamo applicare una rotazione di 90° oppure una simmetria rispetto all’asse y = -x, ma solo con la rotazione viene conservato il verso di percorrenza della figura quindi

infatti il punto viene trasformato come richiesto (osserva che la circonferenza resta unita)

la dilatazione sarà fino ad ottenere   che verifica le nostre condizioni come si può vedere sostituendo x e y nella circonferenza di partenza.

2)      Esaminare la trasformazione : determina punti e rette unite e deduci che tipo di trasformazione è in base agli elementi uniti.(fin qui se ben eseguito il problema è considerato sufficiente). Al risultato della trasformazione applica la simmetria di asse x = 0 e scrivi in forma matriciale le equazioni ottenute. In  base all’osservazione della matrice dedurre di che trasformazione si tratta e verificare che ha un solo elemento unito. Eventualmente giustificare geometricamente che la composizione di due trasformazioni di quel tipo danno luogo a una trasformazione di quel tipo.

I punti uniti  i punti uniti stanno sulla retta y = x + 1

Rette unite: non è possibile

 da cui quindi se ovvero ­y = x +1 che è la retta di punti uniti già trovata; se  da cui ogni retta y = - x + q è una retta unita. Abbiamo una trasformazione che ha una retta di punti uniti e tutte le rette perpendicolari a questa sono uniti . La trasformazione è una simmetria assiale di asse y = x + 1.

La successiva simmetria richiesta è  che applicata al risultato della precedente dà è facilmente verificabile che si tratta della matrice di una rotazione di 90° in senso positivo (antiorario). Se ricerchiamo i punti uniti vediamo che il punto unito è (0,1), punto di intersezione delle due rette. Non è possibile avere rette unite perché una retta è trasformata da una simmetria assiale in una retta, la seconda la trasformerà in un’altra retta: perché sia il risultato uguale alla retta iniziale i due assi dovrebbero essere perpendicolari e la retta dovrebbe passare per l’intersezioni dei due assi. Possiamo affermare che la composizione di due simmetria assiali ad assi incidenti danno sempre una rotazione con centro nel punto di intersezione e angolo doppio dell’angolo di incidenza. (fare un disegno è verificare cosa succede ad un punto P mediante le due simmetrie)

3)      E’ data la funzione . Disegnane il grafico per punti (con particolare attenzione

all’invervallo tra –1 e +1). Decidi in quale intervallo la funzione è invertibile e disegna il grafico della funzione inversa dopo averla posta nella forma y = f(x), giustificando la costruzione del grafico.

In nero la funzione di partenza. Essendo la funzione biiettiva su tutto il campo reale, è invertibile per ogni x: la funzione inversa è il cui grafico è disegnato in blu ed è simmetrico all’altro rispetto alla retta y = x

4)      Risolvi l’equazione

5)      Risolvi la disequazione

poiché       la disequazione non ha soluzioni (anche se non volevo fosse così!!!)

6)      dato e . Determina il valore di e  Giustifica il valore negativo della tangente trovata e “inventa” un valore dell’arcocoseno in modo che  sia positiva.

   il risultato negativo è giustificato dal fatto che il coseno vale  questo valore è infatti vero. Questo implica che a>45° quindi il doppio sarà >90° e la tangente sarà negativa. In base a quanto detto basta che il valore di ad esempio ; è facilmente verificabile che

fine compito.